2. 考研
  3. 设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量． 若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．

设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量． 若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．

admin2022-09-08  12
问题 设A为二阶矩阵，P=(α，Aα)，其中α是非零向量且不是A的特征向量．
若A2α+Aα-6α=0，求P-1AP，并判断A是否相似于对角矩阵．
选项
答案解法一 因为A2α+Aα-6α=0，即A2α=-Aα+6α，所以AP=A(α，Aα)=(Aα，A2α)=[*]， 　　因为P可逆，故有P-1AP=[*]。 　　记[*]。 　　所以A的特征值为-3，2．于是A可相似对角化． 　　解法二 A2+A-6E=(A-2E)(A+3E)=(A+3E)(A-2E)． 　　由A2α+Aα-6α=0， 　　得(A2+A-6E)α=0， 　　于是(A+3E)(A-2E)α=0， 　　即(Aα+3α)(A-2E)=0， 　　A(Aα+3α)=2(Aα+3α)． 　　由α不是特征向量，有Aα+3α≠0， 　　从而λ=2是A的特征值． 　　同理可得λ=-3也是A的特征值， 　　故A可相似对角化．
解析
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考研数学一

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