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设曲线方程为y=e-x(x≥0). (Ⅰ)把曲线y=e-x(x≥0)、x轴、y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围成平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体,求此旋转体的体积V(ξ),求满足V(a)= (Ⅱ)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹
设曲线方程为y=e-x(x≥0). (Ⅰ)把曲线y=e-x(x≥0)、x轴、y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围成平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体,求此旋转体的体积V(ξ),求满足V(a)= (Ⅱ)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹
admin
2019-06-04
63
问题
设曲线方程为y=e
-x
(x≥0).
(Ⅰ)把曲线y=e
-x
(x≥0)、x轴、y轴和直线x=ξ(ξ>0)所围成平面图形绕x轴旋转一周得一旋转体,求此旋转体的体积V(ξ),求满足V(a)=
(Ⅱ)在此曲线上找一点,使过该点的切线与两个坐标轴所夹平面图形的面积最大,并求出该面积.
选项
答案
(Ⅰ)如图,旋转体体积 [*] (Ⅱ)如图,[*] 设切点为(a.e
-a
),因y
’
=(e
-x
)
’
=-e
-x
, 所以切线方程为y-e
-a
=-e
-a
(x-a), 令x=0,得y=(1+a)e
-a
,令y=0,得x=1+a, 于是切线与坐标轴所夹面积S=1/2(1+a)
2
e
-a
, S
’
=(1+a)e
-a
-1/2(1+a)
2
e
-a
=1/2(1-a
2
)e
-a
, 令S
’
=0,得a
1
=1,a
2
=-1,其中a
2
=-1应舍去. 当a<1时,S
’
=1/2(1-a
2
)e
-a
>0,当a>1时,S
’
=1/2(1-a
2
)e
-a
<0, 故当a=1时,面积最大,所求切点为(1,e
-1
),最大面积S=1/2(1+1)
2
e
-1
=2e
-1
.
解析
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考研数学一
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