[2017年] 已知平面区域D={(x，y)∣x2+y2≤2y)，计算二重积分(x+1)2dxdy．

admin2019-05-10 87

问题 [2017年] 已知平面区域D={(x，y)∣x²+y²≤2y)，计算二重积分

(x+1)²dxdy．

选项

答案积分区域具有对称性，首先考虑使用奇偶性；其次，因为积分区域为圆域，使用极坐标进行计算比较方便．令D₁={(x，y)∣x²+(y一1)²≤1，x≥0)，则 [*](x+1)²dxdy=[*](x²+1)dxdy(由积分区域具有对称性得到) =2[*]x²dxdy+[*]dxdy =2∫₀^π/2dθ∫₀^2sinθr²cos²θrdθ+π =8∫₀^π/2cos²θsin⁴θdθ+π =8∫₀^π/2(1一sin²θ)sin⁴θdθ+π =8[*]

解析

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