[2009年] (I)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b)使得f(b)一f(a)=f′(ξ)(b-a). (Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且f′(x)=

admin2019-04-05  91

问题 [2009年]  (I)证明拉格朗日中值定理:若函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,则存在ξ∈(a,b)使得f(b)一f(a)=f′(ξ)(b-a).
(Ⅱ)证明:若函数f(x)在x=0处连续,在(0,δ)(δ>0)内可导,且f′(x)=A,则f′+(0)存在,且f′+(0)=A.

选项

答案 (I)证一 如图1.2.4.1所示,弦[*]的方程为 y—f(a)=[*](x—a), 即 y=f(a)+[*](x—a). [*] 由图1.2.4.1易看出直线AB与曲线f(x)相交于A,B两点, 因而在这两点处的函数值相等.据此可构造辅助函数 F(x)=f(x)-[f(a)+[*](x—a)], 使F(x)在点A,B处的函数值相等,因而可对F(x)使用罗尔定理.这是因为F(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且F(a)=F(b)=0.由罗尔定理知,在(a,b)内存在ξ,使F′(ξ)=0, 即f′(ξ)=[*], 故 f(b)一f(a)=(b一a)f′(ξ). 证二 设想曲线f(x)与直线AB除交于A,B两点外还交于原点(f(0)=0),则可构造辅助函数 F(x)=f(x)一[*], 则 F(a)=F(b)=[*] 由罗尔定理知,在(a,b)内至少存在一点ξ,使F′(ξ)=0,即 f′(ξ)=[*], 亦即 f(b)一f(b)=f′(ξ)(b一a). (Ⅱ)证一 任取x∈(0,δ),在[0,x]上由拉格朗日中值定理知,存在ξ∈(0,x),使 f′(ξ)=[*] 当x→0+时,ξ→0+.由右导数定义有 f′-(0)=[*]=A. 证二 由右导数定义得到 f′+(0)=[*]f′(x)=A.

解析
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