2. 考研
  3. [2009年] (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)一f(a)=f′(ξ)(b－a)． (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(x)=

[2009年] (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)一f(a)=f′(ξ)(b－a)． (Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(x)=

admin2019-04-05  83
问题 [2009年]  (I)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)使得f(b)一f(a)=f′(ξ)(b－a)．
(Ⅱ)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且f′(x)=A，则f′+(0)存在，且f′+(0)=A．
选项
答案 (I)证一 如图1．2．4．1所示，弦[*]的方程为 y—f(a)=[*](x—a)， 即 y=f(a)+[*](x—a)． [*] 由图1．2．4．1易看出直线AB与曲线f(x)相交于A，B两点， 因而在这两点处的函数值相等．据此可构造辅助函数 F(x)=f(x)－[f(a)+[*](x—a)]， 使F(x)在点A，B处的函数值相等，因而可对F(x)使用罗尔定理．这是因为F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F(a)=F(b)=0．由罗尔定理知，在(a，b)内存在ξ，使F′(ξ)=0， 即f′(ξ)=[*]， 故 f(b)一f(a)=(b一a)f′(ξ)． 证二 设想曲线f(x)与直线AB除交于A，B两点外还交于原点(f(0)=0)，则可构造辅助函数 F(x)=f(x)一[*]， 则 F(a)=F(b)=[*] 由罗尔定理知，在(a，b)内至少存在一点ξ，使F′(ξ)=0，即 f′(ξ)=[*]， 亦即 f(b)一f(b)=f′(ξ)(b一a)． (Ⅱ)证一 任取x∈(0，δ)，在[0，x]上由拉格朗日中值定理知，存在ξ∈(0，x)，使 f′(ξ)=[*] 当x→0+时，ξ→0+．由右导数定义有 f′-(0)=[*]=A． 证二 由右导数定义得到 f′+(0)=[*]f′(x)=A．
解析
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考研数学二

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