设f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f’’(x)>0，且又存在点x0，使得f(x0)

admin2017-05-31 23

问题设f(x)在(一∞，+∞)内二阶可导，f’’(x)>0，且

又存在点x₀，使得f(x₀)<0，试证：方程f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．

选项

答案先证存在性． [*] 于是，可知f(x)在(0，+∞)内单调增加．任取x∈[M，+∞)，f(x)在[M，x]上连续，在(M，x)内可导，由拉格朗日中值定理知，存在点ξ∈(M，x)，使得f(x)=f(M)+f’(ξ)(x—M)，于是，[*] 又存在点x₀，使得f(x₀)＜0．所以，由介值定理，存在点ξ₁∈(x₀，x)，使得f(ξ₁)=0．同理可证，当x<0时，存在点ξ₂∈(x，x₀)，使得f(ξ₂)=0．再证唯二性．(反证法) 假若f(x)=0有三个实根ξ₁，ξ₂，ξ₃(ξ₁＜ξ₂＜ξ₃)，由洛尔定理，存在点η₁∈(ξ₁，ξ₂)，η₂∈(ξ₂，ξ₃)，使得f’(η₁)=f’(η₂)=0．再由洛尔定理，存在点η∈(η₁，η₂)，使得f’’(η)=0．与题设f’’(x)>0矛盾，故f(x)=0在(一∞，+∞)内有且仅有两个实根．

解析

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考研数学一

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