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设f(x)在(一∞,+∞)内二阶可导,f’’(x)>0,且又存在点x0,使得f(x0)
设f(x)在(一∞,+∞)内二阶可导,f’’(x)>0,且又存在点x0,使得f(x0)
admin
2017-05-31
39
问题
设f(x)在(一∞,+∞)内二阶可导,f’’(x)>0,且
又存在点x
0
,使得f(x
0
)<0,试证:方程f(x)=0在(一∞,+∞)内有且仅有两个实根.
选项
答案
先证存在性. [*] 于是,可知f(x)在(0,+∞)内单调增加. 任取x∈[M,+∞),f(x)在[M,x]上连续,在(M,x)内可导,由拉格朗日中值定理知,存在点ξ∈(M,x),使得f(x)=f(M)+f’(ξ)(x—M),于是,[*] 又存在点x
0
,使得f(x
0
)<0.所以,由介值定理,存在点ξ
1
∈(x
0
,x),使得f(ξ
1
)=0. 同理可证,当x<0时,存在点ξ
2
∈(x,x
0
),使得f(ξ
2
)=0. 再证唯二性.(反证法) 假若f(x)=0有三个实根ξ
1
,ξ
2
,ξ
3
(ξ
1
<ξ
2
<ξ
3
),由洛尔定理,存在点η
1
∈(ξ
1
,ξ
2
),η
2
∈(ξ
2
,ξ
3
),使得f’(η
1
)=f’(η
2
)=0. 再由洛尔定理,存在点η∈(η
1
,η
2
),使得f’’(η)=0.与题设f’’(x)>0矛盾,故f(x)=0在(一∞,+∞)内有且仅有两个实根.
解析
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考研数学一
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