设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为求：（Ⅰ）系数A；（Ⅱ）（X，Y）的联合分布函数；（Ⅲ）边缘概率密度；（Ⅳ）（X，Y）落在区域R:x＞0，y＞0，2x +3y＜6内的概率。

admin2017-01-21 66

问题设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为

求：
（Ⅰ）系数A；
（Ⅱ）（X，Y）的联合分布函数；
（Ⅲ）边缘概率密度；
（Ⅳ）（X，Y）落在区域R:x＞0，y＞0，2x +3y＜6内的概率。

选项

答案（Ⅰ）根据分布函数的性质 ∫_—∞^+∞∫_—∞^+∞f（x，y）dxdy=∫₀^+∞∫₀^+∞Ae^{一（2x+3y）} dxdy=A．[*]，解得A=6。（Ⅱ）将A=6代入得（X，Y）的联合概率密度为 [*] 所以当x＞0，y＞0时， F（x，y）=∫₀^+∞∫₀^+∞Ae^{一（2x+3y）} dxdy=6∫₀^xe^—2xdx∫₀^ye^—3ydy=（1—e^—2x）（1—e^—3y），而当x和y取其它值时，F（x，y）=0。综上所述，可得联合概率分布函数为 [*] （Ⅲ）当x＞0时，X的边缘密度为 f_X（x） =6e^{—（2x+3y）} dy=2e^—2x，当x≤0时，f_X（x）=0。因此X的边缘概率密度为 [*] 同理可得Y的边缘概率密度函数为 [*] （Ⅳ）根据公式 [*] 已知R:x＞0，y＞0，2x+3y＜6，将其转化为二次积分，可表示为 [*]e^—3ydy=2∫₀³（e^—2x-^—6）dx=1—7e^—6≈0．983。

解析

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考研数学三

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设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为求：（Ⅰ）系数A；（Ⅱ）（X，Y）的联合分布函数；（Ⅲ）边缘概率密度；（Ⅳ）（X，Y）落在区域R:x＞0，y＞0，2x +3y＜6内的概率。

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设函数f(x)在[0，+∞)上连续、单调不减且f(0)≥0，试证函数在[0，+∞)上连续且单调不减(其中n＞0)．

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设F(x)=F(x)g(x)，其中函数f(x)，g(x)在(-∞，+∞)内满足以下条件：f’(x)=g(x)，g’(x)=f(x)且f(0)=0，f(x)+g(x)=2ex．求F(x)所满足的一阶微分方程；

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