2. 考研
  3. 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为 求： （Ⅰ）系数A； （Ⅱ）（X，Y）的联合分布函数； （Ⅲ）边缘概率密度； （Ⅳ）（X，Y）落在区域R:x＞0，y＞0，2x +3y＜6内的概率。

设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为 求： （Ⅰ）系数A； （Ⅱ）（X，Y）的联合分布函数； （Ⅲ）边缘概率密度； （Ⅳ）（X，Y）落在区域R:x＞0，y＞0，2x +3y＜6内的概率。

admin2017-01-21  43
问题 设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为

求：
（Ⅰ）系数A；
（Ⅱ）（X，Y）的联合分布函数；
（Ⅲ）边缘概率密度；
（Ⅳ）（X，Y）落在区域R:x＞0，y＞0，2x +3y＜6内的概率。
选项
答案（Ⅰ）根据分布函数的性质 ∫—∞+∞∫—∞+∞f（x，y）dxdy=∫0+∞∫0+∞Ae一（2x+3y） dxdy=A．[*]，解得A=6。 （Ⅱ）将A=6代入得（X，Y）的联合概率密度为 [*] 所以当x＞0，y＞0时， F（x，y）=∫0+∞∫0+∞Ae一（2x+3y） dxdy=6∫0xe—2xdx∫0ye—3ydy=（1—e—2x）（1—e—3y）， 而当x和y取其它值时，F（x，y）=0。 综上所述，可得联合概率分布函数为 [*] （Ⅲ）当x＞0时，X的边缘密度为 fX（x） =6e—（2x+3y） dy=2e—2x， 当x≤0时，fX（x）=0。因此X的边缘概率密度为 [*] 同理可得Y的边缘概率密度函数为 [*] （Ⅳ）根据公式 [*] 已知R:x＞0，y＞0，2x+3y＜6，将其转化为二次积分，可表示为 [*]e—3ydy=2∫03（e—2x-—6）dx=1—7e—6≈0．983。
解析
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考研数学三

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