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已知矩阵A=相似,求a,b的值及一个可逆矩阵P,使P-1AP=B.
已知矩阵A=相似,求a,b的值及一个可逆矩阵P,使P-1AP=B.
admin
2017-10-25
65
问题
已知矩阵A=
相似,求a,b的值及一个可逆矩阵P,使P
-1
AP=B.
选项
答案
(Ⅰ)二次型的矩阵为A=[*],则二次型的正、负惯性指数都是1,可知R(A)=2, |A|=[*]=-(a+2)(a-1)
2
=0, 所以a=-2,或a=1,又a=1时,显然R(A)=1,故只取a=-2. (Ⅱ)此时|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3),所以A的特征值是3,-3,0. 当λ
1
=3时,解方程组(3E-A)x=0,得基础解系为α
1
=(1,0,1)
T
; 当λ
2
=-3时,解方程组(-3E-A)x=0,得基础解系为α
2
=(1,-2,-1)
T
; 当λ
3
=0时,解方程组(0E-A)x=0,得基础解系为α
3
=(1,1,-1)
T
. 将α
1
,α
2
,α
3
单位化,得 [*] 故有正交阵 [*] 因此所求的正交变换为 [*] 所求的标准形为3y
1
-1
-3y
2
-1
. (Ⅲ)由于x=Qy,可知x
T
x=(Qy)
T
Qy=y
T
Q
T
Qy=y
T
y. 因此限制条件x
T
x=2也等价于y
T
y=y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=2. 由于二次型为3y
1
2
-3y
2
2
,易知其在y
1
2
+y
2
2
+y
3
2
=2时,最大值为6,最小值为-6.
解析
先根据惯性指数求得a,再求特征值及单位化的特征向量,将二次型标准化,最后借助标准形求得f的最值.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wkr4777K
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考研数学一
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