已知矩阵A=相似,求a,b的值及一个可逆矩阵P,使P-1AP=B.

admin2017-10-25  26

问题 已知矩阵A=相似,求a,b的值及一个可逆矩阵P,使P-1AP=B.

选项

答案(Ⅰ)二次型的矩阵为A=[*],则二次型的正、负惯性指数都是1,可知R(A)=2, |A|=[*]=-(a+2)(a-1)2=0, 所以a=-2,或a=1,又a=1时,显然R(A)=1,故只取a=-2. (Ⅱ)此时|λE-A|=λ(λ+3)(λ-3),所以A的特征值是3,-3,0. 当λ1=3时,解方程组(3E-A)x=0,得基础解系为α1=(1,0,1)T; 当λ2=-3时,解方程组(-3E-A)x=0,得基础解系为α2=(1,-2,-1)T; 当λ3=0时,解方程组(0E-A)x=0,得基础解系为α3=(1,1,-1)T. 将α1,α2,α3单位化,得 [*] 故有正交阵 [*] 因此所求的正交变换为 [*] 所求的标准形为3y1-1-3y2-1. (Ⅲ)由于x=Qy,可知xTx=(Qy)TQy=yTQTQy=yTy. 因此限制条件xTx=2也等价于yTy=y12+y22+y32=2. 由于二次型为3y12-3y22,易知其在y12+y22+y32=2时,最大值为6,最小值为-6.

解析 先根据惯性指数求得a,再求特征值及单位化的特征向量,将二次型标准化,最后借助标准形求得f的最值.
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