已知矩阵A=相似，求a，b的值及一个可逆矩阵P，使P-1AP=B．

admin2017-10-25 44

问题已知矩阵A=

相似，求a，b的值及一个可逆矩阵P，使P^-1AP=B．

选项

答案(Ⅰ)二次型的矩阵为A=[*]，则二次型的正、负惯性指数都是1，可知R(A)=2，｜A｜=[*]=-(a+2)(a-1)²=0，所以a=-2，或a=1，又a=1时，显然R(A)=1，故只取a=-2． (Ⅱ)此时｜λE-A｜=λ(λ+3)(λ-3)，所以A的特征值是3，-3，0．当λ₁=3时，解方程组(3E-A)x=0，得基础解系为α₁=(1，0，1)^T；当λ₂=-3时，解方程组(-3E-A)x=0，得基础解系为α₂=(1，-2，-1)^T；当λ₃=0时，解方程组(0E-A)x=0，得基础解系为α₃=(1，1，-1)^T．将α₁，α₂，α₃单位化，得 [*] 故有正交阵 [*] 因此所求的正交变换为 [*] 所求的标准形为3y₁^-1-3y₂^-1. (Ⅲ)由于x=Qy，可知x^Tx=(Qy)^TQy=y^TQ^TQy=y^Ty．因此限制条件x^Tx=2也等价于y^Ty=y₁²+y₂²+y₃²=2．由于二次型为3y₁²-3y₂²，易知其在y₁²+y₂²+y₃²=2时，最大值为6，最小值为-6．

解析先根据惯性指数求得a，再求特征值及单位化的特征向量，将二次型标准化，最后借助标准形求得f的最值．

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考研数学一

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