设Am×n,r(A)=m,Bn×(n一m),r(B)=n一m,且满足关系AB=O.证明:若η是齐次线性方程组AX=0的解,则必存在唯一的ξ,使得Bξ=η.

admin2019-02-23  29

问题 设Am×n,r(A)=m,Bn×(n一m),r(B)=n一m,且满足关系AB=O.证明:若η是齐次线性方程组AX=0的解,则必存在唯一的ξ,使得Bξ=η.

选项

答案将B按列分块,设B=[β1,β2,…,βn一m],因已知AB=O,故知B的每一列均是AX=0的解,由r(A)=m,r(B)=n一m知,β1,β2,…,βn一m是AX=0的基础解系. 若η是AX=0的解向量,则η可由基础解系β1,β2,…,βn一m线性表出,且表出法唯一,即 η=x1β1+x2β2+…+xn一mβn一m=[β1,β2,…,βn一m][*]=Bξ,即存在唯一的ξ,使Bξ=η.

解析
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