设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)＝2．证明：对0＜x＜a，存在0＜Θ＜1，使得f(t)dt＋f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]；

admin2020-03-24 52

问题设f(x)在(－a，a)(a＞0)内连续，且f’(0)＝2．
证明：对0＜x＜a，存在0＜Θ＜1，使得

f(t)dt＋

f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]；

选项

答案令F(x)＝[*]f(t)dt＋[*]f(t)dt，显然F(x)在[0，x]上可导，且F(0)＝0，由微分中值定理，存在0＜Θ＜1，使得F(x)＝F(x)－F(0)＝F’(Θx)x，即 [*]f(t)dt＋[*]f(t)dt＝x[f(Θx)－f(－Θx)]．

解析

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考研数学三

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