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设α1,α2……αs均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( )
设α1,α2……αs均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( )
admin
2019-08-12
41
问题
设α
1
,α
2
……α
s
均为n维列向量,A是m×n矩阵,下列选项正确的是( )
选项
A、若α
1
,α
2
……α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.
B、若α
1
,α
2
……α
s
线性相关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关.
C、若α
1
,α
2
……α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.
D、若α
1
,α
2
……α
s
线性无关,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关.
答案
A
解析
本题考查矩阵的乘法和向量组线性相关性.
可用定义分析:λ
1
α
1
+λ
2
α
2
+…+λ
s
α
s
=0中,若存在λ
1
,λ
2
,…,λ
s
是一组不全为零数时,向量组α
1
,α
2
……α
s
是线性相关的;若只有当λ
1
,λ
2
……λ
s
都为零数时,向量组α
1
,α
2
……α
s
是线性无关的.也可用向量组的秩分析:向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于向量组中向量的个数.
若α
1
,α
2
……α
s
线性相关,则存在不全为零的数k
1
,k
2
,……,k
s
,使k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
=0,在等式的两端左乘矩阵A得k
1
Aα
1
+k
2
Aα
2
+…+k
s
Aα
s
=A(k
1
α
1
+k
2
α
2
+…+k
s
α
s
)=A0=0.由于k
1
,k
2
,……,k
s
不全为零,故Aα
1
,Aα
2
……Aα
s
线性相关.
所以A选项正确,B不正确.设α
1
,α
2
……α
s
线性无关,若m=n,且A=E,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性无关.
所以C不正确.若A=O,则Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.所以D不正确.故选A.本题也可以用秩分析.
由于(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)=A(α
1
,α
2
……α
s
),所以r(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)=r[A(α
1
,α
2
……α
s
)]≤r(α
1
,α
2
……α
s
).若α
1
,α
2
……α
s
线性相关,则r(α
1
,α
2
……α
s
)<s.于是r(Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
)<s.故Aα
1
,Aα
2
,…,Aα
s
线性相关.故选项A正确.
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