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  3. 设α1,α2……αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

设α1,α2……αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是( )

admin2019-08-12  30
问题 设α1,α2……αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是(    )
选项 A、若α1,α2……αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
B、若α1,α2……αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．
C、若α1,α2……αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．
D、若α1,α2……αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．
答案A
解析 本题考查矩阵的乘法和向量组线性相关性．
可用定义分析：λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0中，若存在λ1，λ2，…，λs是一组不全为零数时，向量组α1,α2……αs是线性相关的；若只有当λ1,λ2……λs都为零数时，向量组α1,α2……αs是线性无关的．也可用向量组的秩分析：向量组线性相关的充分必要条件是其秩小于向量组中向量的个数．
若α1,α2……αs线性相关，则存在不全为零的数k1,k2,……，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0，在等式的两端左乘矩阵A得k1Aα1+k2Aα2+…+ksAαs=A(k1α1+k2α2+…+ksαs)=A0=0．由于k1,k2,……，ks不全为零，故Aα1,Aα2……Aαs线性相关．
所以A选项正确，B不正确．设α1,α2……αs线性无关，若m=n，且A=E，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．
所以C不正确．若A=O，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．所以D不正确．故选A．本题也可以用秩分析．
由于(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1,α2……αs)，所以r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r[A(α1,α2……αs)]≤r(α1,α2……αs)．若α1,α2……αs线性相关，则r(α1,α2……αs)＜s．于是r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s．故Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．故选项A正确．
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考研数学二

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