2. 考研
  3. 已知α1，α2，α3，α4为3维非零列向量，则下列结论中： ①如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关； ②如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关； ③如果r(

已知α1，α2，α3，α4为3维非零列向量，则下列结论中： ①如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关； ②如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关； ③如果r(

admin2018-08-22  123
问题 已知α1，α2，α3，α4为3维非零列向量，则下列结论中：
    ①如果α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关；
    ②如果α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，则α1，α2，α4也线性相关；
    ③如果r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4)，则α4可以由α1，α2，α3线性表出．
    正确的个数为    (    )
选项 A、0
B、l
C、2
D、3
答案C
解析 如果α1，α2，α3线性无关，由于α1，α2，α3，α4为4个3维向量，故α1，α2，α3，α4线性相关，则α4必能由α1，α2，α3线性表出，可知①是正确的．
    令则α1，α2，α3线性相关，α2，α3，α4线性相关，但α1，α2，α4线性无关．可知②是错误的．
    由向量组等价
                [α1，α1+α2，α2+α3]→[α1，α2，α2+α3]→[α1，α2，α3]，
                 [α4，α1+α4，α2+α4，α3+α4]→[α4，α1，α2，α3]→[α1，α2，α3，α4]，
  可知
                 r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α1，α2，α3)，
        r(α4，α1+α4，α2+a4，α3+α4)=r(α1，α2，α3，α4)，
  故当r(α1，α1+α2，α2+α3)=r(α1，α1+α4，α2+α4，α3+α4)时，也有
                r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，α4)，
  因此α4可以由α1，α2，α3线性表出．可知③是正确的．故选(C)．
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考研数学二

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