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已知α1,α2,α3,α4为3维非零列向量,则下列结论中: ①如果α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关; ②如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,则α1,α2,α4也线性相关; ③如果r(
已知α1,α2,α3,α4为3维非零列向量,则下列结论中: ①如果α4不能由α1,α2,α3线性表出,则α1,α2,α3线性相关; ②如果α1,α2,α3线性相关,α2,α3,α4线性相关,则α1,α2,α4也线性相关; ③如果r(
admin
2018-08-22
108
问题
已知α
1
,α
2
,α
3
,α
4
为3维非零列向量,则下列结论中:
①如果α
4
不能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,则α
1
,α
2
,α
3
线性相关;
②如果α
1
,α
2
,α
3
线性相关,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,则α
1
,α
2
,α
4
也线性相关;
③如果r(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=r(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
),则α
4
可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.
正确的个数为 ( )
选项
A、0
B、l
C、2
D、3
答案
C
解析
如果α
1
,α
2
,α
3
线性无关,由于α
1
,α
2
,α
3
,α
4
为4个3维向量,故α
1
,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,则α
4
必能由α
1
,α
2
,α
3
线性表出,可知①是正确的.
令
则α
1
,α
2
,α
3
线性相关,α
2
,α
3
,α
4
线性相关,但α
1
,α
2
,α
4
线性无关.可知②是错误的.
由向量组等价
[α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
]→[α
1
,α
2
,α
2
+α
3
]→[α
1
,α
2
,α
3
],
[α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
]→[α
4
,α
1
,α
2
,α
3
]→[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
],
可知
r(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
),
r(α
4
,α
1
+α
4
,α
2
+a4,α
3
+α
4
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),
故当r(α
1
,α
1
+α
2
,α
2
+α
3
)=r(α
1
,α
1
+α
4
,α
2
+α
4
,α
3
+α
4
)时,也有
r(α
1
,α
2
,α
3
)=r(α
1
,α
2
,α
3
,α
4
),
因此α
4
可以由α
1
,α
2
,α
3
线性表出.可知③是正确的.故选(C).
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考研数学二
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