2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，又g(x)在[a，b]上连续，求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，又g(x)在[a，b]上连续，求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)．

admin2017-10-23  13
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，又g(x)在[a，b]上连续，求证：存在ξ∈(a，b)使得f’(ξ)=g(ξ)f(ξ)．
选项
答案设∫g(x)dx是g(x)的某个原函数，并令R(x)=e—∫g(x)dx，作辅助函数F(x)=R(x)f(x)，对F(x)在[a，b]上用罗尔定理，即知本题结论成立．
解析 注意存在ξ∈(a，b)，
    f’(ξ)=g(ξ)，(ξ)←→令f’(ξ)一g(ξ)f(ξ)=0
    ←→  [f’(x)一g(x)f(x)]｜x=ξ=0
    ←→  [R(x)f’(x)一R(x)g(x)f(x)]｜x=ξ=0
    ←→  [R(x)f(x)]’｜x=ξ=0，
其中R(x)是在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，而且当x∈(a，b)时满足如下条件的任一函数：
    R’(x)=一R(x)g(x)，又R(x)≠0．
    可取R(x)=e∫g(x)dx，若对R(x)f(x)在[a，b]上可用罗尔定理即得证．
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考研数学三

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