[2013年] 已知y1=e3x一xe2x,y2=ex一xe2x,y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件y∣x=0=0,y′∣x=0=1的解为y=________.

admin2021-01-19  32

问题 [2013年]  已知y1=e3x一xe2x,y2=ex一xe2x,y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件y∣x=0=0,y′∣x=0=1的解为y=________.

选项

答案 利用二阶常系数线性微分方程y"+Py′+qy=f(x)解的性质和结构求之. 先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解.事实上,利用线性微分方程的性质知,y1一y3=e3x,y2-y3=ex是对应齐次线性微分方程的两个线性无关的解,因而该齐次线性微分方程的通解为Y=C1e3x+C2ex.又y*=一xe2x显然为该非齐次线性微分方程的特解,则由常系数线性微分方程解的结构知,其通解为 y=Y+y*=C1e3x+C2ex一xe2x其中C1,C2均为任意常数. 由y∣x=1=0,y′∣x=1=1得到C1+C2=0,3C1+C2一l=1,解得C1=l,C2=一1. 故满足初始条件的解为 y=e3x一ex一xe2x

解析
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