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[2013年] 已知y1=e3x一xe2x,y2=ex一xe2x,y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件y∣x=0=0,y′∣x=0=1的解为y=________.
[2013年] 已知y1=e3x一xe2x,y2=ex一xe2x,y3=-xe2x是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件y∣x=0=0,y′∣x=0=1的解为y=________.
admin
2021-01-19
57
问题
[2013年] 已知y
1
=e
3x
一xe
2x
,y
2
=e
x
一xe
2x
,y
3
=-xe
2x
是某二阶常系数非齐次线性微分方程的3个解,则该方程满足条件y∣
x=0
=0,y′∣
x=0
=1的解为y=________.
选项
答案
利用二阶常系数线性微分方程y"+Py′+qy=f(x)解的性质和结构求之. 先由给出的3个解找出对应的齐次线性微分方程的两个线性无关的解.事实上,利用线性微分方程的性质知,y
1
一y
3
=e
3x
,y
2
-y
3
=e
x
是对应齐次线性微分方程的两个线性无关的解,因而该齐次线性微分方程的通解为Y=C
1
e
3x
+C
2
e
x
.又y
*
=一xe
2x
显然为该非齐次线性微分方程的特解,则由常系数线性微分方程解的结构知,其通解为 y=Y+y
*
=C
1
e
3x
+C
2
e
x
一xe
2x
其中C
1
,C
2
均为任意常数. 由y∣
x=1
=0,y′∣
x=1
=1得到C
1
+C
2
=0,3C
1
+C
2
一l=1,解得C
1
=l,C
2
=一1. 故满足初始条件的解为 y=e
3x
一e
x
一xe
2x
.
解析
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