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设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证:对任意给定的正数a,b,在(0,1)内存在不同的点ξ,η,使 =a+b.
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证:对任意给定的正数a,b,在(0,1)内存在不同的点ξ,η,使 =a+b.
admin
2017-07-26
51
问题
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=1,试证:对任意给定的正数a,b,在(0,1)内存在不同的点ξ,η,使
=a+b.
选项
答案
因为a>0,b>0,所以0<[*]<1. 又f(x)在[0,1]上连续,由介值定理,存在点c∈(0,1)使得f(c)=[*]. 将f(x)在[0,c],[c,1]上分别用拉格朗日中值定理得 f(c)一f(0)一f’(ξ)c,ξ∈(0,c), f(1)一f(c)=f’(η)(1一c),η∈(c,1). 由f(0)=0,f(1)=1,可得 [*]
解析
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考研数学三
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