2. 职业资格
  3. 在学习了等比数列前n项和公式后，数学老师李老师给大家留了一道思考题：“你能把无限循环小数化成分数吗?你用的什么方法，用具体的例子说明。”李老师将这个问题留作作业，让大家写一个小的总结。有的同学表示，第一次做这样的作业，没有具体的题目，不知道如何下手；还有的

在学习了等比数列前n项和公式后，数学老师李老师给大家留了一道思考题：“你能把无限循环小数化成分数吗?你用的什么方法，用具体的例子说明。”李老师将这个问题留作作业，让大家写一个小的总结。有的同学表示，第一次做这样的作业，没有具体的题目，不知道如何下手；还有的

admin2019-06-10  49
问题 在学习了等比数列前n项和公式后，数学老师李老师给大家留了一道思考题：“你能把无限循环小数化成分数吗?你用的什么方法，用具体的例子说明。”李老师将这个问题留作作业，让大家写一个小的总结。有的同学表示，第一次做这样的作业，没有具体的题目，不知道如何下手；还有的同学觉得老师留的问题不够具体，不知道写到什么程度。
问题：
李老师在批阅了大家的作业后，要针对学生的作答情况在课堂上做一个总结，请以“把无限循环小数化成分数”为教学内容帮李老师设计一个教学片段。
选项
答案教学片段 师：大家的作业我看了，大部分同学做得很好，下面我们一起来看一下这个问题。把无限循环小数化成分数，我没有给出具体哪个无限不循环小数，大家看到题首先要思考，什么样的小数是无限循环小数，它是怎么化成分数的。那么什么样的小数是无限循环小数呢? 生：小数点后有重复出现的数字。 师：不够严谨，应该是从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数码的十进制无限小数。比如0．3333…，0．142857142857142857…，[*]，等等。 师：很多同学解决这个问题的时候想到了我们刚刚学过的等比数列前n项和公式，能利用这个知识来解决问题。要表扬大家，很棒。下面我请一位同学说一下用这种方法的思路。小贾，你来说。 小贾：我是求的[*]这个数的分数形式，我把这个循环小数看成了一些小数的和，它可以是 [*]=0．7+0．07+0．007+0．0007+…=7×0．1+7×0．01+7×0．001+7×0．0001+… =7×(0．1+0．01+0．001+0．0001+…)， 后边就变成了等比数列前n项求和了，这个等比数列的首项是0．1，公比是0．1，那么0．1+0．01+0．001+0．0001+…=[*]。 师：很好，思路很清晰。把隐藏在循环小数里的等比数列求和问题挖掘出来了，有一部分同学是这么做的。整个过程中运用了化归转化思想，极限思想。 师：我看到，还有一些同学有其他解法。小马，你来说说你的做法。 小马：我是求的[*]这个数的分数形式。设[*]=x，即x=0．555…，则10x=5．555…，所以10x－x=5，得x=[*]。即[*]。 师：这个方法不错，我随便写一个循环小数你能把它化成分数吗?来，算算[*]的分数形式。大家用小马刚才说的做法也试着算算。 小马：老师，我就现场算吧。设[*]=x，也就是x=0．753753753…，则1000x=753．753753753…，所以1000x－x=753，得x=[*]。 师：看来你对这种做法已经很熟悉了。大家发现没有，这个方法的巧妙之处在于把重复的小数分别消去了!怎么消去的呢? 生：把原来的数扩大了。 师：扩大了多少倍。 生：…… 师：其实这种做法也是和等比数列有关的，小马在求[*]的分数形式的时候是将原来的数扩大了10倍，而求[*]的分数形式的时候是将原来的数扩大了1000倍。这其中有什么道理吗? 小马：[*]=0．5+0．05+0．005+0．0005+…=5×0．1+5×0．01+5×0．001+5×0．0001+…=5×(0．1+0．01+0．001+0．0001+…)，对应的等比数列的公比是0．1，所以在计算[*]的分数形式的时候是将原来的扩大了10倍。[*]对应的那个等比数列的公比是0．001，所以在计算的时候将原来的扩大了1000倍。 (大部分学生都明白其中的道理了) 师：很好，大家都明白了吧。我现在想问大家，把原来的数扩大多少倍后再和原来的式子作差，这种方法我们接触过吗? (预设)个别学生：刚刚就见过。在推导等比数列前n项和公式的时候就是这么推导的。前两天刚讲过，叫错位相减法。 师：很好!看来有的同学发现了，这就是在推导等比数列前n项和公式时用到的错位相减法。 师：小贾同学的做法是把循环小数转化成等比数列求和问题，再利用等比数列前n项和公式直接计算。小马同学的做法是巧妙地利用循环小数本身的特点，用错位相减法解决了问题。两种办法都很好，大家要把这两种方法都学会。这个问题我们课堂上就讨论这两种方法，同学们课下再相互交流一下还有没有其他的做法。
解析
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