2. 考研
  3. 设y(x)是方程y(4)一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的三阶无穷小，求y(x)．

设y(x)是方程y(4)一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的三阶无穷小，求y(x)．

admin2021-11-09  44
问题 设y(x)是方程y(4)一y"=0的解，且当x→0时，y(x)是x的三阶无穷小，求y(x)．
选项
答案由泰勒公式 [*] 当x→0时，y(x)与x3同阶，即有y(0)=0，y’(0)=0，y"(0)=0，y’"(0)=C，其中C为非零常数．由这些初值条件，现将方程y(4)一y"=0两边积分得 [*] 即y’"(x)一C—y’(x)=0，两边再积分得y"(x)一y(x)=Cx． 易知，它有特解y*=一Cx，因此它的通解是y=C1ex+C2e-x一Cx． 由初值y(0)=0，y’(0)=0得 C1+C2=0，C1+C2，即[*] 因此最后得[*]其中C为任意非零常数．
解析
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考研数学二

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