已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2017-01-14 23

问题已知A=

，二次型f(x₁，x₂，x₃)=x^T(A^TA)x的秩为2。
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形。

选项

答案(Ⅰ)A^TA=[*]，由r(A^TA)=2可得｜A^TA｜=[*]=(a+1)²(a²+3)=0，所以a=-1。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，令矩阵B=[*] ｜λE-B｜=[*]=λ(λ-2)(λ-6)=0，解得矩阵B的特征值为λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6。由(λ_iE-B)x=0，得对应特征值λ₁=0，λ₂=2，λ₃=6的特征向量分别为 η₁=(-1，-1，1)^T，η₂=(-1，1，0)^T，η₃=(1，1，2)^T。将η₁，η₂，η₃单位化可得： [*] 则正交变换x=Qy可将原二次型化为[*]。

解析

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