2. 考研
  3. 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形。

已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。 (Ⅰ)求实数a的值； (Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形。

admin2017-01-14  58
问题 已知A=，二次型f(x1，x2，x3)=xT(ATA)x的秩为2。
(Ⅰ)求实数a的值；
(Ⅱ)求正交变换x=Qy将f化为标准形。
选项
答案(Ⅰ)ATA=[*]，由r(ATA)=2可得 ｜ATA｜=[*]=(a+1)2(a2+3)=0， 所以a=-1。 (Ⅱ)由(Ⅰ)中结果，令矩阵B=[*] ｜λE-B｜=[*]=λ(λ-2)(λ-6)=0， 解得矩阵B的特征值为λ1=0，λ2=2，λ3=6。 由(λiE-B)x=0，得对应特征值λ1=0，λ2=2，λ3=6的特征向量分别为 η1=(-1，-1，1)T，η2=(-1，1，0)T，η3=(1，1，2)T。 将η1，η2，η3单位化可得： [*] 则正交变换x=Qy可将原二次型化为[*]。
解析
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考研数学一

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