2. 考研
  3. 设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．(Ⅰ)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．

设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．(Ⅰ)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．

admin2017-10-23  19
问题 设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．(Ⅰ)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．
选项
答案设抛物线的方程为 y=a(x一1)(x一3)，其中常数a≠0．不妨设a＞0，如图3．13(当a＜0时，其图形与a＞0时的图形关于x轴对称．)． (Ⅰ)此抛物线与两坐标轴围成图形的面积 S1=∫01｜a(x一1)(x一3)｜dx=a∫01[(x一2)2一1]dx [*] 此抛物线与x轴围成图形的面积 S2=∫13｜a(x一1)(x一3)｜dx=a∫13[1一(x一2)2]dx [*] 从而，由计算结果知S1=S2． (11)上述两平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积分别为 V1=π∫01a2(x一1)2(x一3)2dx=πa2∫12(t2一1)2dt =[*]πs， V2=∫13a2(x—1)2(x—3)2dx=πa2∫—11(1—t2)2dt=2πa2∫01(1—t2)2dt=[*]πa2． 从而，两者体积之比V1：V2=19：8．
解析
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考研数学三

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