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设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．(Ⅰ)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．
设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．(Ⅰ)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．
admin
2017-10-23
60
问题
设一抛物线过x轴上两点(1，0)与(3，0)．(Ⅰ)求证：此抛物线与两坐标轴围成图形的面积等于此抛物线仅与x轴围成图形的面积；(Ⅱ)求上述两平面图形分别绕x轴旋转一周所得旋转体的体积之比．
选项
答案
设抛物线的方程为 y=a(x一1)(x一3)，其中常数a≠0．不妨设a＞0，如图3．13(当a＜0时，其图形与a＞0时的图形关于x轴对称．)． (Ⅰ)此抛物线与两坐标轴围成图形的面积 S
1
=∫
0
1
｜a(x一1)(x一3)｜dx=a∫
0
1
[(x一2)
2
一1]dx [*] 此抛物线与x轴围成图形的面积 S
2
=∫
1
3
｜a(x一1)(x一3)｜dx=a∫
1
3
[1一(x一2)
2
]dx [*] 从而，由计算结果知S
1
=S
2
． (11)上述两平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积分别为 V
1
=π∫
0
1
a
2
(x一1)
2
(x一3)
2
dx=πa
2
∫
1
2
(t
2
一1)
2
dt =[*]πs， V
2
=∫
1
3
a
2
(x—1)
2
(x—3)
2
dx=πa
2
∫
—1
1
(1—t
2
)
2
dt=2πa
2
∫
0
1
(1—t
2
)
2
dt=[*]πa
2
． 从而，两者体积之比V
1
：V
2
=19：8．
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/wzX4777K
0
考研数学三
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设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．
设f(x)=，且f’(0)存在，则a=__________，b=__________，c=__________
求幂级数的收敛区间．
求幂级数的收敛区间．
设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0，f"(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求．
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