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  3. 设A是m×n矩阵．证明：r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A=αβT．

设A是m×n矩阵．证明：r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A=αβT．

admin2017-06-08  53
问题 设A是m×n矩阵．证明：r(A)=1<=>存在m维和n维非零列向量α和β，使得A=αβT．
选项
答案“=>”记A的列向量组为α1，α2，…，αn，则因为r(A)=1，所以r(α1，α2，…，αn)=1．于是A一定有非零列向量，记α为一个非零列向量，则每个αi都是α的倍数．设αi=biα，i=1，2，…，n．记β=(b1，b2，…，bn)T，则β≠0，并且A=(α1，α2，…，αn)=(b1α，b2α，…，bnα)=αβT． “<=”设A=αβT，则r(A)≤r(α)=1．由于α，β都不是零向量，可设α的第i个分量ai≠0，β的第i个分量bi≠0．则A的(i，j)位元素为aibi≠0，因此A≠0，从而r(A)＞0．得r(A)=1．
解析
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考研数学二

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