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设A是m×n矩阵.证明:r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β,使得A=αβT.
设A是m×n矩阵.证明:r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β,使得A=αβT.
admin
2017-06-08
107
问题
设A是m×n矩阵.证明:r(A)=1<=>存在m维和n维非零列向量α和β,使得A=αβ
T
.
选项
答案
“=>”记A的列向量组为α
1
,α
2
,…,α
n
,则因为r(A)=1,所以r(α
1
,α
2
,…,α
n
)=1.于是A一定有非零列向量,记α为一个非零列向量,则每个α
i
都是α的倍数.设α
i
=b
i
α,i=1,2,…,n.记β=(b
1
,b
2
,…,b
n
)
T
,则β≠0,并且A=(α
1
,α
2
,…,α
n
)=(b
1
α,b
2
α,…,b
n
α)=αβ
T
. “<=”设A=αβ
T
,则r(A)≤r(α)=1.由于α,β都不是零向量,可设α的第i个分量a
i
≠0,β的第i个分量b
i
≠0.则A的(i,j)位元素为a
i
b
i
≠0,因此A≠0,从而r(A)>0.得r(A)=1.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/x0t4777K
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考研数学二
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