设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是

admin2018-08-02  27

问题 设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是

选项 A、r(A)=r(B).
B、|A|=|B|.
C、A与B有相同的特征多项式.
D、A、B有相同的特征值λ1,…,λn,且λ1,…,λn互不相同.

答案D

解析 当N阶方阵有N个互不相同特征值时,它必相似于对角矩阵.故在选项(D)的条件下.存在适当的可逆矩阵P、Q,使P-1AP=D,Q-1BQ=D,其中D=diag(λ1,λ2,…,λn)为对角矩阵.故有P-1AP=Q-1BQ,QP-1APQ-1=B,→(PQ)-1A(PQ-1)=B,记矩阵M=PQ-1,则M可逆,且使M-1AM=B,所以在选项(D)的条件下,A与B必相似.
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