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设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是
设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是
admin
2018-08-02
42
问题
设A、B都是n阶矩阵,则A与B相似的一个充分条件是
选项
A、r(A)=r(B).
B、|A|=|B|.
C、A与B有相同的特征多项式.
D、A、B有相同的特征值λ
1
,…,λ
n
,且λ
1
,…,λ
n
互不相同.
答案
D
解析
当N阶方阵有N个互不相同特征值时,它必相似于对角矩阵.故在选项(D)的条件下.存在适当的可逆矩阵P、Q,使P
-1
AP=D,Q
-1
BQ=D,其中D=diag(λ
1
,λ
2
,…,λ
n
)为对角矩阵.故有P
-1
AP=Q
-1
BQ,
QP
-1
APQ
-1
=B,→(PQ)
-1
A(PQ
-1
)=B,记矩阵M=PQ
-1
,则M可逆,且使M
-1
AM=B,所以在选项(D)的条件下,A与B必相似.
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考研数学二
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