2. 考研
  3. 设f(x)是周期为2的连续函数。 证明G(x)=∫0x[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。

设f(x)是周期为2的连续函数。 证明G(x)=∫0x[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。

admin2022-10-08  26
问题 设f(x)是周期为2的连续函数。
证明G(x)=∫0x[2f(t)－∫tt+2f(s)ds]dt是周期为2的周期函数。
选项
答案证法一： 由于∫tt+2f(s)ds=∫02f(s)ds 记∫02f(s)ds=a,G(x)=2∫0xf(t)dt－ax 因为对任意的x， G(x+2)－G(x)=2∫0x+2f(t)dt－a(x+2)－2∫0xf(x)dt+ax =2∫0x+2f(t)dt－2a=2∫02f(t)dt－2a=0 所以G(x)是周期为2的周期函数。 证法二： 由上一问知，对任意的t都有∫tt+2f(s)ds=∫02f(s)ds 记∫02f(s)ds=a，则有 G(x+2)=2∫0x+2f(t)dt－a(x+2),G(x)=2∫0xf(t)dt－ax 由于对任意x， (G(x+2))’=2f(x+2)－a=2f(x)－a,(G(x))’=2f(x)－a 所以(G(x+2)－G(x))’=0,从而G(x+2)－G(x)是常数，即有 G(x+2)－G(x)=G(2)－G(0)=0, 所以G(x)是周期为2的周期函数。
解析
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考研数学三

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