设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．若A2α+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

admin2018-05-25 165

问题设二维非零向量α不是二阶方阵A的特征向量．
若A²α+Aα一6α=0，求A的特征值，讨论A可否对角化；

选项

答案由A²α+Aα－6α=0，得(A²+A－6E)α=0，因为α≠0，所以r(A²+A－6E)＜2，从而｜A²+A－6E｜=0，即｜3E+A｜.｜2E－A｜=0，则｜3E+A｜=0或｜2E－A｜=0．若｜3E+A｜≠0，则3E+A可逆，由(3E+A)(2E－A)α=0，得 (2E－A)α=0，即Aα=2α，矛盾；若｜2E－A｜≠0，则2E－A可逆，由(2E－A)(3E+A)α=0，得 (3E+A)α=0，即Aα=－3α，矛盾，所以有｜3E+A｜=0且｜2E－A｜=0，于是二阶矩阵A有两个特征值－3，2，故A可对角化．

解析

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