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  3. 设x1=10，xn+1=(n=1，2…)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限．

设x1=10，xn+1=(n=1，2…)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限．

admin2021-01-15  54
问题 设x1=10，xn+1=(n=1，2…)，试证数列{xn}极限存在，并求此极限．
选项
答案如能证{xn}为单调有界数列，则{xn}的极限存在．先证单调性．证单调增加还是证单调减少呢?为此不妨先假定极限存在，即令[*]xn=A，对递推关系式取极限得到A=[*]．解之有A=3或A=-2(舍去，因为A＞0)．由A=3＜x1=10知，该数列应为单调减少数列(注意上面是对{xn}的单调性的预测，绝非证明)． {xn}是单调减少数列，也可如下证明．将xn+22=6+xn，和xn2=6+xn-1作差，得 xn+12一xn2=xn一xn-1 =＞ (xn+1+xn)(xn+1-xn)=xn-xn-1． 因xn+1+xn＞0，故xn+1-xn与xn-xn-1同号．因x2＜xn，故xn+1-xn＜0，即xn+1＜xn．
解析
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考研数学一

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