2. 考研
  3. 设函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且其反函数为g(x)．若∫0f(x)g(t)dt＝x2ex，求f(x)．

设函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且其反函数为g(x)．若∫0f(x)g(t)dt＝x2ex，求f(x)．

admin2019-03-21  14
问题 设函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且其反函数为g(x)．若∫0f(x)g(t)dt＝x2ex，求f(x)．
选项
答案等式∫0f(x)g(t)dt＝e2ex两边对x求导得 g[f(x)]f’(x)＝2xex＋x0ex． 因g[f(x)]＝x，故 xf’(x)＝2xex＋x2ex． 当x≠0时， f’(x)＝2ex＋xex， 积分得 f(x)＝(x＋1)ex＋C． 由于f(x)在x＝0处连续，故由 [*]， 得C＝－1．因此 f(x)＝(x＋1)ex－1．
解析 含有变限的定积分当然想到先对其求导，注意f(x)的反函数为g(x)，因此有g[f(x)]＝x．求导后转化为微分方程，解此方程即可．
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考研数学二

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