设函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且其反函数为g(x)．若∫0f(x)g(t)dt＝x2ex，求f(x)．

admin2019-03-21 24

问题设函数f(x)在[0，＋∞)上可导，f(0)＝0，且其反函数为g(x)．若∫₀^f(x)g(t)dt＝x²e^x，求f(x)．

选项

答案等式∫₀^f(x)g(t)dt＝e²e^x两边对x求导得 g[f(x)]f’(x)＝2xe^x＋x⁰e^x．因g[f(x)]＝x，故 xf’(x)＝2xe^x＋x²e^x．当x≠0时， f’(x)＝2e^x＋xe^x，积分得 f(x)＝(x＋1)e^x＋C．由于f(x)在x＝0处连续，故由 [*]，得C＝－1．因此 f(x)＝(x＋1)e^x－1．

解析含有变限的定积分当然想到先对其求导，注意f(x)的反函数为g(x)，因此有g[f(x)]＝x．求导后转化为微分方程，解此方程即可．

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