设曲线＝1(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明： (Ⅰ)I(n)＝2n∫01(1－t2)nt2n-1dt； (Ⅱ)I(n)＝sin2n-1tdt且I(n)＜(n＞1)． (Ⅲ)I(n)＜1．

admin2019-07-01 30

问题设曲线

＝1(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明：
(Ⅰ)I(n)＝2n∫₀¹(1－t²)ⁿt^2n-1dt；
(Ⅱ)I(n)＝

sin^2n-1tdt且I(n)＜

(n＞1)．
(Ⅲ)

I(n)＜1．

选项

答案(Ⅰ)如图，由题设有y＝(1－[*])ⁿ(0≤χ≤1)，从而 I(n)＝∫₀¹y(χ)dχ＝∫₀¹(1－[*])ⁿdχ．令t²＝[*]，则χ＝t²ⁿ，于是 I(n)＝∫₀¹(1－t²)ⁿ2nt^2n-1dt＝2n∫₀¹(1－t²)ⁿt^2n-1dt [*] (Ⅱ)对(Ⅰ)中的I(n)表达式，令t＝sinθ，则有 [*] 将①式作如下变形 [*]

解析

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