2. 考研
  3. 设曲线＝1(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明： (Ⅰ)I(n)＝2n∫01(1－t2)nt2n-1dt； (Ⅱ)I(n)＝sin2n-1tdt且I(n)＜(n＞1)． (Ⅲ)I(n)＜1．

设曲线＝1(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明： (Ⅰ)I(n)＝2n∫01(1－t2)nt2n-1dt； (Ⅱ)I(n)＝sin2n-1tdt且I(n)＜(n＞1)． (Ⅲ)I(n)＜1．

admin2019-07-01  37
问题 设曲线＝1(正整数n≥1)在第一象限与坐标轴围成图形的面积为I(n)，证明：
    (Ⅰ)I(n)＝2n∫01(1－t2)nt2n-1dt；
    (Ⅱ)I(n)＝sin2n-1tdt且I(n)＜(n＞1)．
    (Ⅲ)I(n)＜1．
选项
答案(Ⅰ)如图，由题设有y＝(1－[*])n(0≤χ≤1)，从而 I(n)＝∫01y(χ)dχ＝∫01(1－[*])ndχ． 令t2＝[*]，则χ＝t2n，于是 I(n)＝∫01(1－t2)n2nt2n-1dt＝2n∫01(1－t2)nt2n-1dt [*] (Ⅱ)对(Ⅰ)中的I(n)表达式，令t＝sinθ，则有 [*] 将①式作如下变形 [*]
解析
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考研数学一

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