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设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=α2+α3,Aα3=2α2+3α3. 求一个可逆矩阵P,使得P—1AP为对角矩阵.
设A为3阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的3维列向量,且满足Aα1=α1+α2+α3,Aα2=α2+α3,Aα3=2α2+3α3. 求一个可逆矩阵P,使得P—1AP为对角矩阵.
admin
2018-08-03
34
问题
设A为3阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的3维列向量,且满足Aα
1
=α
1
+α
2
+α
3
,Aα
2
=α
2
+α
3
,Aα
3
=2α
2
+3α
3
.
求一个可逆矩阵P,使得P
—1
AP为对角矩阵.
选项
答案
对于λ
1
=λ
2
=1,解方程组(E一B)x=0,得基础解系ξ
1
=(一1.1,0)
T
,ξ
2
=(一2,0,1)
T
;对应于λ
3
=4,解方程组(4E—B)x=0,得基础解系己=(0,1,1)
T
.令矩阵 Q=[ξ
1
ξ
2
ξ
3
]=[*] 则有 Q
—1
B Q=[*] 因Q
—1
BQ=Q
—1
C
—1
ACQ=(CO)
—1
A(CQ),记矩阵 P—CQ一[α
1
,α
2
,α
3
][*] =[一α
1
+α
2
,一2α
1
+α
3
,α
2
+α
3
] 则有P
—1
AP=diag(1,1,4),故P为所求的可逆矩阵.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/Frg4777K
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考研数学一
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