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设f(t)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且f(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=0.
设f(t)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且f(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=0.
admin
2019-03-21
52
问题
设f(t)在[0,π]上连续,在(0,π)内可导,且
f(x)sinxdx=0.证明:存在ξ∈(0,π),使得f’(ξ)=0.
选项
答案
令F(x)=[*],因为F(0)=F(π)=0,所以存在x
1
∈(0,π),使得F’(x
1
)=0,即f(x
1
)sinx
1
=0,又因为sinx
1
≠0,所以f(x
1
)=0. 设x
1
是f(x)在(0,π)内唯一的零点,则当x∈(0,π)且x≠x
1
时,有sin(x-x
1
)f(x)恒正或恒负,于是[*],矛盾,所以f(x)在(0,π)内至少有两个零点.不妨设f(x
1
)=f(x
2
)=0,x
1
,x
2
∈(0,π)且x
1
<x
2
,由罗尔中值定理,存在ξ∈(x
1
,x
2
)[*](0,π),使得f’(ξ)=0.
解析
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xLV4777K
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考研数学二
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