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已知A,B均是2×4矩阵,Ax=0有基础解系ξ1=(1,3,0,2)T,ξ2=(1,2,-1,3)T;Bx=0有基础解系η1=(1,1,2,1)T,η2=(0,-3,1,+1)T. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求参数a的值,使Ax=0和Bx=0有非零公共解,并
已知A,B均是2×4矩阵,Ax=0有基础解系ξ1=(1,3,0,2)T,ξ2=(1,2,-1,3)T;Bx=0有基础解系η1=(1,1,2,1)T,η2=(0,-3,1,+1)T. (Ⅰ)求矩阵A; (Ⅱ)求参数a的值,使Ax=0和Bx=0有非零公共解,并
admin
2019-01-24
24
问题
已知A,B均是2×4矩阵,Ax=0有基础解系ξ
1
=(1,3,0,2)
T
,ξ
2
=(1,2,-1,3)
T
;Bx=0有基础解系η
1
=(1,1,2,1)
T
,η
2
=(0,-3,1,+1)
T
.
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求参数a的值,使Ax=0和Bx=0有非零公共解,并求该非零公共解.
选项
答案
(Ⅰ)记C=(ξ
1
,ξ
2
),则AC=A(ξ
1
,ξ
2
)=0,两边转置得C
T
A
T
=0. 所以矩阵A的行向量即AT的列向量是CTX一0的解,对CT作初等行变换,有 [*] 解得C
T
x=0的基础解系为α
1
=(3,-1,1,0)
T
,α
2
=(-5,1,0,1)
T
. 所以A=k
1
α
1
+k
2
α
2
=[*] 其中k
1
,k
2
是任意非零常数. (Ⅱ)设Ax=0和Bx=0有非零公共解,为δ,则δ可由ξ
1
,ξ
2
线性表出,也可由η
1
,η
2
线性表出, 设为 δ=x
1
ξ
1
+x
2
ξ
2
=-x
3
η
1
=x
4
η
4
, 得 x
1
ξ
1
+x
2
ξ
2
+x
3
η
1
+x
4
η
2
=(ξ
1
,ξ
2
,η
1
,η
2
)x=0. 对(ξ
1
,ξ
2
,η
1
,η
2
)作初等行变换,有 [*] 因为δ≠0,故(ξ
1
,ξ
2
,η
1
,η
2
)x=0有非零解,[*],故当a=-1时,(ξ
1
,ξ
2
,η
1
,η
2
)x=0有非零解为k(2,-1,-1,1)
T
,其中k是非零常数. δ=k(2ξ
1
-ξ
2
)=k(1,4,1,1)
T
(或δ=k(η
1
-η
2
)),其中k是非零常数.
解析
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考研数学一
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