设n元线性方程组Ax=b，其中证明行列式|A|=(n+1)an；

admin2018-07-26 89

问题设n元线性方程组Ax=b，其中

证明行列式|A|=(n+1)aⁿ；

选项

答案证法1记D_n=|A|，以下用数学归纳法证明D_n=(n+1)aⁿ．当n=1时，D₁=2a，结论成立；当n=2时， D₂ [*] =3a²=(n+1)aⁿ 结论成立；假设结论对于小于n的情况成立．将D_n按第1行展开，得 [*] =2aD_n－1－a²D_n－2 (代入归纳假设D_k=(k+1)a^k，k＜n) =2ana^n－1－a²(n－1)a^n－2=(n+1)aⁿ 故|A|=(n+1)aⁿ．证法2把|A|化成上三角行列式 [*] =(n+1)aⁿ

解析

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考研数学三

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设f(x)在[a，+∞)有连续导数，且f’(x)＞k＞0在(a，+∞)上成立，又f(a)＜0，其中k是一个常数．求证：方程f(x)=0在内有且仅有一个实根．
设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且f’y(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是：f(a，b)=0，f’x(a，b)=0，
求下列微分方程的通解：(Ⅰ)(Ⅱ)xy+2y=sinx；(Ⅲ)ydx-2(x+y4)dy=0；(Ⅳ)y’+xsin2y=x3cos2y．
微分方程=0当y＞0时的通解是y=________．
设A是n阶矩阵，若存在正整数k，使线性方程组Akx=0有解向量α，且Ak-1α≠0．证明：向量组α，Aα，…，Ak-1α是线性无关的．
计算行列式｜A｜=之值．
已如A，B为三阶矩阵，且有相同的特征值1，2，2，则下列命题：①A，B等价；②A，B相似；③若A，B为实对称矩阵，则A，B合同；④行列式|A一2E|=|2E一A|中，命题成立的有()．

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