设A为n阶实对称矩阵，AB＋BTA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。

admin2015-11-16 55

问题设A为n阶实对称矩阵，AB＋B^TA是正定矩阵，证明A是可逆矩阵。

选项

答案证由正定矩阵的定义知，对任意X≠0，有 X^T(AB＋B^TA)X＝X^TABX＋X^TB^TAX＝X^TA^TBX＋(BX)^TAX ＝(AX)^T(BX)＋(BX)^T(AX)＞0。因而对任意X≠0有AX≠0，即齐次线性方程组AX＝0只有零解，故r(A)＝n，即A为可逆矩阵。

解析 [证题思路] 由题设知，对任意X≠0，有X^T(AB＋B^TA)X＞0。由此可推得对任意X≠0，有AX≠0，从而A可逆。

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