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设A为n阶实对称矩阵,AB+BTA是正定矩阵,证明A是可逆矩阵。
设A为n阶实对称矩阵,AB+BTA是正定矩阵,证明A是可逆矩阵。
admin
2015-11-16
75
问题
设A为n阶实对称矩阵,AB+B
T
A是正定矩阵,证明A是可逆矩阵。
选项
答案
证 由正定矩阵的定义知,对任意X≠0,有 X
T
(AB+B
T
A)X=X
T
ABX+X
T
B
T
AX=X
T
A
T
BX+(BX)
T
AX =(AX)
T
(BX)+(BX)
T
(AX)>0。 因而对任意X≠0有AX≠0,即齐次线性方程组AX=0只有零解,故r(A)=n,即A为可逆矩阵。
解析
[证题思路] 由题设知,对任意X≠0,有X
T
(AB+B
T
A)X>0。由此可推得对任意X≠0,有AX≠0,从而A可逆。
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xTw4777K
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考研数学一
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