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  3. 设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x，求f(x)．

设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x，求f(x)．

admin2021-11-09  30
问题 设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x，求f(x)．
选项
答案∫0xtf(x一t)dt[*]x∫0xf(u)du一∫0xuf(u)du=x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt ∫0xf(t)dt+∫0xtf(x一t)dt=x化为 ∫0xf(t)dt+x∫0xf(t)dt-∫0xtf(t)dt=x，两边求导得 f(x)+∫0xf(t)dt=1，两边再求导得 f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce-x， 因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e-x．
解析
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考研数学二

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