设f(x)二阶可导，且∫0xf(t)dt+∫0xtf(x—t)dt=x，求f(x)．

admin2021-11-09 35

问题设f(x)二阶可导，且∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x—t)dt=x，求f(x)．

选项

答案∫₀^xtf(x一t)dt[*]x∫₀^xf(u)du一∫₀^xuf(u)du=x∫₀^xf(t)dt-∫₀^xtf(t)dt ∫₀^xf(t)dt+∫₀^xtf(x一t)dt=x化为 ∫₀^xf(t)dt+x∫₀^xf(t)dt-∫₀^xtf(t)dt=x，两边求导得 f(x)+∫₀^xf(t)dt=1，两边再求导得 f’(x)+f(x)=0，解得f(x)=Ce^-x，因为f(0)=1，所以C=1，故f(x)=e^-x．

解析

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