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(1)验证函数满足微分方程. y"+y′+y=ex; (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.
(1)验证函数满足微分方程. y"+y′+y=ex; (2)利用(1)的结果求幂级数的和函数.
admin
2019-12-26
61
问题
(1)验证函数
满足微分方程.
y"+y′+y=e
x
;
(2)利用(1)的结果求幂级数
的和函数.
选项
答案
(1)先验证该幂级数的收敛区间是(-∞,+∞).这是缺项的幂级数,令t=x
3
,则 [*] t∈(-∞,+∞),从而x∈(-∞,+∞)时,原级数收敛. 其次,在收敛区间内对幂级数可以逐项求导. [*] 于是 [*] (2)因为幂级数[*]的和函数y(x)满足微分方程 y"+y′+y=e
x
. 又y(0)=1,y′(0)=0,所以为求y(x)只须解上述二阶常系数线性微分方程的初值问题. 微分方程相应的齐次方程的特征方程为λ
2
+λ+1=0.特征根[*]通解为 [*] 设非齐次线性方程的一个特解为y
*
=Ae
x
,代入方程得[*]所以,非齐次线性方程的通解为 [*] 由初始条件,得 [*] 故 [*]
解析
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考研数学三
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