2. 考研
  3. 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得 (e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ．

设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得 (e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ．

admin2019-01-05  49
问题 设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=1，试证：存在两点ξ，η∈(a，b)，使得
    (e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ．
选项
答案令g(x)=e3x，则g(x)=e3x在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件． 由拉格朗日中值定理，存在点η∈(a，b)，使得 [*] 令F(x)=exf(x)，由拉格朗日中值定理，存在点ξ∈(a，b)，使得 [*] 代入①式，可得(e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ．
解析 (e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ
    →(e2a+ea+b+e2b)eξ[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η
    →(e2a+ea+b+e2b)[ex(x)]’｜x=ξ=(e3x)｜x=η，
先对g(x)=e3x用拉格朗日中值定理，再对F(x)=exf(x)用拉格朗日中值定理，然后乘以常数(e2a+ea+b+e2b)可得待证的等式．
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考研数学三

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