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设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证:存在两点ξ,η∈(a,b),使得 (e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ.
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证:存在两点ξ,η∈(a,b),使得 (e2a+ea+b+e2b)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e3η—ξ.
admin
2019-01-05
48
问题
设f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且f(a)=f(b)=1,试证:存在两点ξ,η∈(a,b),使得
(e
2a
+e
a+b
+e
2b
)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e
3η—ξ
.
选项
答案
令g(x)=e
3x
,则g(x)=e
3x
在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件. 由拉格朗日中值定理,存在点η∈(a,b),使得 [*] 令F(x)=e
x
f(x),由拉格朗日中值定理,存在点ξ∈(a,b),使得 [*] 代入①式,可得(e
2a
+e
a+b
+e
2b
)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e
3η—ξ
.
解析
(e
2a
+e
a+b
+e
2b
)[f(ξ)+f’(ξ)]=3e
3η—ξ
→(e
2a
+e
a+b
+e
2b
)e
ξ
[f(ξ)+f’(ξ)]=3e
3η
→(e
2a
+e
a+b
+e
2b
)[e
x
(x)]’|
x=ξ
=(e
3x
)|
x=η
,
先对g(x)=e
3x
用拉格朗日中值定理,再对F(x)=e
x
f(x)用拉格朗日中值定理,然后乘以常数(e
2a
+e
a+b
+e
2b
)可得待证的等式.
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考研数学三
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