(03)若矩阵A=相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使Pr-1AP=Λ．

admin2019-06-09 51

问题 (03)若矩阵A=

相似于对角矩阵A，试确定常数a的值；并求可逆矩阵P，使Pr^-1AP=Λ．

选项

答案由A的特征多项式 [*] =(λ-6)(λ²-4λ-12)=(λ-6)²(λ+2) 得A的特征值为λ₁=λ₂=6，λ₃=-2．因为A只有一个重特征值6(二重)，所以， A可对角化[*]对应于特征值6的线性无关特征向量有2个 [*]齐次方程组(6E-A)x=0的基础解系含2个向量 [*] 3-秩(6E-A)=2 [*]秩(6E-A)=1 从而由 [*] 知a=0，且由此可得对应于λ₁=λ₂=6的两个线性无关特征向量可取为 [*] 对于特征值λ₃=-2，由 [*] 得对应的一个特征向量可取为ξ₃=(1，-2，0)^T．于是ξ₁，ξ₂，ξ₃就是3阶方阵A的3个线性无关特征向量，令矩阵 P=[ξ₁，ξ₂，ξ₃]=[*] 则P可逆，且使P^-1AP=[*]为对角矩阵．

解析

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考研数学二

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