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设齐次方程组(I) 有一个基础解系β1=(b11,b12,…,b1×2n)T,β2=(b21,b22,…,b2×2n)T,…,βn=(bn1,bn2,…,bn×2n)T. 证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ) 的通解.
设齐次方程组(I) 有一个基础解系β1=(b11,b12,…,b1×2n)T,β2=(b21,b22,…,b2×2n)T,…,βn=(bn1,bn2,…,bn×2n)T. 证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ) 的通解.
admin
2017-06-08
65
问题
设齐次方程组(I)
有一个基础解系β
1
=(b
11
,b
12
,…,b
1×2n
)
T
,β
2
=(b
21
,b
22
,…,b
2×2n
)
T
,…,β
n
=(b
n1
,b
n2
,…,b
n×2n
)
T
.
证明A的行向量组是齐次方程组(Ⅱ)
的通解.
选项
答案
分别记A和B为(Ⅰ)和(Ⅱ)的系数矩阵. (Ⅰ)的未知量有2n个,它的基础解系含有n个解,则r(A)=n,即A的行向量组α
1
,α
2
,…,α
n
线性无关. 由于β
1
,…,β
n
都是(I)的解,有AB
T
=(Aβ
1
,Aβ
2
,…,Aβ
n
)=0,转置得BA
T
=0,即Bα
i
T
=0,i=1,…,n.于是,α
1
,α
2
,…,α
n
是(Ⅱ)的n个线性无关的解.又因为r(B)=n,(Ⅱ)也有2n个未知量,2n-r(B)=n.所以α
1
,α
2
,…,α
n
是(Ⅱ)的一个基础解系.从而(Ⅱ)的通解为 c
1
α
1
+c
2
α
2
+…+c
n
α
n
,c
1
,c
2
,…,c
n
可取任意数.
解析
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