2. 考研
  3. 设α1=(1，0，一1，0)T，α2=(0，1，0，a)T，α3=(1，1，a，一1)T，记A=(α1，α2，α3)． (I)解齐次线性方程组(ATA)x=0： (Ⅱ)当a，b为何值时，向量组β1=(1，1，b，a)T，β2=(1，2， 1，2a)T

设α1=(1，0，一1，0)T，α2=(0，1，0，a)T，α3=(1，1，a，一1)T，记A=(α1，α2，α3)． (I)解齐次线性方程组(ATA)x=0： (Ⅱ)当a，b为何值时，向量组β1=(1，1，b，a)T，β2=(1，2， 1，2a)T

admin2020-09-23  27
问题 设α1=(1，0，一1，0)T，α2=(0，1，0，a)T，α3=(1，1，a，一1)T，记A=(α1，α2，α3)．
  (I)解齐次线性方程组(ATA)x=0：
(Ⅱ)当a，b为何值时，向量组β1=(1，1，b，a)T，β2=(1，2，  1，2a)T可由向量组α1，α2，α3线性表示?并求出一般表示式．
选项
答案(I)由于(ATA)x=0与Ax=0同解，故只需求Ax=0的解即可．对A实施初等行变换，得 [*] 当a≠一1时，R(A)=3，Ax=0只有零解； 当a=一1时，R(A)=2＜3，Ax=0有非零解，其同解方程组为 [*] 故Ax=0的通解为 [*] (Ⅱ)β1，β2可由α1，α2，α3线性表示 [*]矩阵方程(α1，α2，α3)X=(β1，β2)有解 [*]R(α1，α2，α3)=R(α1，α2，α3[*]β1，β2)． 对(α1，α2，α3[*]β1，β2)实施初等行变换，得 [*] 当b=一1时，R(α1，α2，α3)=R(α1，α2，α3[*]β1，β2)，β1，β2可由α1，α2，α3线性表示． 当a≠一1时，R(α1，α2，α3)=R(α1，α2，α3[*]β1，β2)=3， [*] 此时，β1=α1+α2，β2=α1+2α2； 当a=-1时，R(α1，α2，α3)=R(α1，α2，α3[*]β1，β2)=2， 此时，β1=(1一l1)α1+(1一l1)α2+l1α3，其中l1为任意常数， β2=(1一l2)α1+(2-l2)α2+l2α3其中l2为任意常数．
解析
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考研数学一

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