设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f(n+1)(x)≡0，f(n)(x)≠0.

admin2018-06-27 44

问题设f(x)为n+1阶可导函数，求证：f(x)为n次多项式的充要条件是f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)≡0，f⁽ⁿ⁾(x)≠0.

选项

答案由带拉格朗日余项的n阶泰勒公式得 f(x)=f(0)+f’(0)x+…+[*]f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ+[*]xⁿ⁺¹．若f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)≡0，f⁽ⁿ⁾(x)≠0，由上式[*] f(x)=f(0)+f’(0)x+…+[*]f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ是n次多项式．反之，若f(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀(a_n≠0)是n次多项式，显然 f⁽ⁿ⁾(x)=a_nn!≠0，f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)≡0．

解析

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