2. 考研
  3. 设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。

设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。

admin2018-12-19  52
问题 设y=y(x)是凸的连续曲线，其上任意一点(x，y)处的曲率为，且此曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，求该曲线的方程，并求函数y=y(x)的极值。
选项
答案由题设及曲率公式，有(因曲线y=y(x)是凸的，所以y’’＜0，｜y’’｜=一y’’) [*] 化简得[*]，改写为[*] 两端同时积分解得 arctany’=一x+C1。 (1) 由题设，曲线上点(0，1)处的切线方程为y=x+1，可知y(0)=1，y’(0)=1。 将x=0代入(1)式，得C1=[*]。 由arctany’=一x+[*]，故 [*] (本题选择[*]是因为已知曲线在x=0处有值，且曲线是一条连续曲线，因此该解的范围应该包含x=0在内并且使y(x)连续的一个区间。) 对(2)式积分得 [*] 又由题设可知y(0)=1，代入上式，得[*]，于是所求的曲线方程为 [*] 由于[*]，且lnx在定义域内是增函数，所以当且仅当[*]时，y取得最大值，由于[*]，所以此时y取极大值，极大值为[*]，显然y在[*]没有极小值。
解析
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考研数学二

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