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设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且 (Ⅰ)验证 (Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1,求函数f(u)的表达式.
设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且 (Ⅰ)验证 (Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1,求函数f(u)的表达式.
admin
2020-05-19
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问题
设函数f(u)在(0,+∞)内具有二阶导数,且
(Ⅰ)验证
(Ⅱ)若f(1)=0,f’(1)=1,求函数f(u)的表达式.
选项
答案
(Ⅰ)由z=f(u),[*],得 [*] 所以根据题设条件可得[*],即 [*] (Ⅱ)由(Ⅰ)知,f’’(u)+[*]f’(u)=0且f(1)=0,f’(1)=1, 令p=f’(u),则f’’(u)=[*],于是原方程化为[*] 由f’(1)=p(1)=1,得到C
1
=1,即f’(u)=[*] 从而得f(u)=lnu+C,又因为f(1)=0,则C=0,因此 f(u)=lnu.
解析
(Ⅰ)求出
即可.
(Ⅱ)直接解方程f’’(u)+
f’(u)=0,并利用条件f’(1)=1,f(1)=0,可得f(u)的表达式.
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考研数学一
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