2. 考研
  3. 已知y*(x)=xe—x+e—2x，y*(x)=xe—x+xe—2x，y*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y"+py’+qy=f(x)的三个特解． (Ⅰ)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，

已知y*(x)=xe—x+e—2x，y*(x)=xe—x+xe—2x，y*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y"+py’+qy=f(x)的三个特解． (Ⅰ)求这个方程和它的通解； (Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，

admin2019-06-06  99
问题 已知y*(x)=xe—x+e—2x，y*(x)=xe—x+xe—2x，y*(x)=xe—x+e—2x+xe—2x是某二阶线性常系数微分方程y"+py’+qy=f(x)的三个特解．
(Ⅰ)求这个方程和它的通解；
(Ⅱ)设y=y(x)是该方程满足y(0)=0，y’(0)=0的特解，求∫0+∞y(x)dx.
选项
答案(Ⅰ)由线性方程解的叠加原理→ y1(x)=y3*(x)一y2*(x)=e—2x，y2(x)=y3*(x)一y1*(x)=xe—2x 均是相应的齐次方程的解，它们是线性无关的．于是该齐次方程的特征根是重根A=一2相应的特征方程为 (A+2)2=0，即λ2+4λ+4=0． 原方程为 y"+4y’+4y=f(x)． ① 由于y’(x)=xe—x是它的特解，求导得 y*’(x)=e—x(1一x)，y*’(x)=e—x(x一2)． 代入方程①得e—x(x一2)+4e—x(1一x)+4xe—x=f(x) → f(x)=(x+2)e—x →原方程为y"+4y’+4y=(x+2)e—x，其通解为 y=C1e—2x+C2xe—2x+xe—x，其中C1，C2为[*]常数． [*] 不必由初值来定C1，C2，直接将方程两边积分得 [*]
解析
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考研数学二

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