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已知高温物体置于低温介质中,任一时刻,该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却,30 min后,该物体温度降至30℃,若要将该物体的温度继续降至21℃,还需冷却多长时间?
已知高温物体置于低温介质中,任一时刻,该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却,30 min后,该物体温度降至30℃,若要将该物体的温度继续降至21℃,还需冷却多长时间?
admin
2022-01-17
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问题
已知高温物体置于低温介质中,任一时刻,该物体温度对时间的变化率与该时刻物体和介质的温差成正比.现将一初始温度为120℃的物体在20℃恒温介质中冷却,30 min后,该物体温度降至30℃,若要将该物体的温度继续降至21℃,还需冷却多长时间?
选项
答案
设t时刻物体温度为y(t),比例常数为k(k>0),介质温度为m,则 dy/dt=-k(y-m) 从而y(t)=Ce
-kt
+m,而y(0)=120,m=20,则c=100,即y(t)=100e
-kt
+20. 又y(30)=30,所以k=ln 10/30,即 [*] 当y(t)=21时,t=60.所以还需要30分钟.
解析
【思路探索】首先根据题设条件建立微分方程,然后解该微分方程得其通解;由定解条件进一步可得特解,也即问题得到解决.
转载请注明原文地址:https://kaotiyun.com/show/xof4777K
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考研数学二
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