设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则( )

admin2020-03-01 103

问题设f(x)是连续函数，F(x)是f(x)的一个原函数，则( )

选项 A、当f(x)是奇函数时，F(x)必为偶函数．
B、当f(x)是偶函数时，F(x)必为奇函数．
C、当f(x)是周期函数时，F(x)必为周期函数．
D、当f(x)是单调函数时，F(x)必为单调函数．

答案A

解析先考虑奇偶性：因为F(x)=∫₀^xf(t)dt+C，所以F(一x)=∫₀^-xf(t)dt+C．
令u=-t,∫₀^-xf(t)dt+C=∫₀^xf(一u)d(一u)+C=一∫₀^xf(一u)du+C
当f(x)是奇函数时,f(一u)=-f(u)，从而有
F(一x)=∫₀^xf(u)du+C=F(x)，即F(x)必为偶函数，故应选(A)．
(B)的反例：偶函数f(x)=cosx，F(x)=sin x+1不是奇函数；
(C)的反例：周期函数f(x)=cos² x，F(x)=

不是周期函数；
(D)的反例：(一∞，+∞)内的单调函数f(x)=x，

在(一∞，+∞)内不是单调函数．
综上可知应选(A)．

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考研数学二

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