(05年)如图．曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3．2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx．

admin2018-07-27 65

问题 (05年)如图．曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点,直线l₁与l₂分别是曲线C在点(0，0)与(3．2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫₀³(x²+x)f"’(x)dx．

选项

答案由(3，2)是曲线y=f(x)的拐点知，f"(3)=0；由直线l₁与l₂分别是曲线y=f(x)在点(0，0)与(3，2)处的切线知，f’(0)=2，f’(3)=一2，f(0)=0．f(3)=2．利用分部积分法可得 ∫₀³(x²+x)f"’(x)dx=(x²+x)f"(x)|₀³一∫₀³(2x+1)f"(x)dx =一∫₀³(2x+1)f"(x)dx =一(2x+1)f’(x)|₀³+2∫₀³f’(x)dx =一[7×(一2)一2]+2∫₀³f’(x)dx =16+2f(x)|₀³=16+4=20． [*]

解析

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考研数学二

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(05年)如图．曲线C的方程为y=f(x)，点(3，2)是它的一个拐点,直线l1与l2分别是曲线C在点(0，0)与(3．2)处的切线，其交点为(2，4)．设函数f(x)具有三阶连续导数，计算定积分∫03(x2+x)f"’(x)dx．

考研数学二

已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax＋2by＋3c＝0，l1：bx＋2cy＋3a＝0，l1：cx＋2ay＋36＝0．试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a＋b＋c＝0．

设f(x)在区间[－a，a](a＞0)上具有二阶连续导数，f(0)＝0．(1)写出f(x)的带拉格朗日余项的一阶麦克劳林公式；(2)证明在[－a，a]上至少存在一点η，使a3f"(η)＝3∫－aaf(x)dx．

从点P1(1，0)作x轴的垂线，交抛物线y=x2于点Q1(1，1)，再从Q1作这条抛物线的切线与x轴交于P2，然后又从P2作x轴的垂线，交抛物线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列的点P1，Q1，P2，Q2，…，Pn，Qn，…，求

已知4阶方阵A=(a1，a2，a3，a4)，a1，a2，a3，a4均为4维列向量，其a2，a3，a4线性无关，a1=2a2-a3，如果β=a1+a2+a3+a4，求线性方程组Ax=β的通解．

若曲线y＝x2＋ax＋b和2y＝－1＋xy3在点(1，－1)处相切，其中a，b是常数，则()．

(2006年试题．三(17))设区域D={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分

已知曲线的极坐标方程是r=1-cosθ，求该曲线上二对应于θ=π／6处的切线与法线的直角坐标方程．

设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．

对于实数x＞0，定义对数函数Inx=依此定义试证：(1)=一lnx(x＞0)；(2)ln(xy)=lnx+Iny(x＞0，y＞0)．

如图3—3，连续函数y=f(x)在区间[一3，一2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[一2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的下、上半圆周．设F(x)=∫0xf(t)dt，则下列结论正确的是()

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一项任务，若每天超额完成2件商品，可提前计划3天完工，若每天超额完成4件商品，可提前5天完工，该任务需要完成的商品有多少件?

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