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设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求P{X+Y≤1); (Ⅱ)判断X,Y的独立性; (Ⅲ)已知Z=X-Y,求fz(z).
设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求P{X+Y≤1); (Ⅱ)判断X,Y的独立性; (Ⅲ)已知Z=X-Y,求fz(z).
admin
2022-12-09
49
问题
设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数
(Ⅰ)求P{X+Y≤1);
(Ⅱ)判断X,Y的独立性;
(Ⅲ)已知Z=X-Y,求f
z
(z).
选项
答案
[*] (Ⅱ)f
X
(x)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dy, 当x≤0时,f
X
(x)=0; 当>x0时,f
X
(x)=∫
0
x
e
-x
dy=xe
-x
,即f
X
(x)=[*] f
Y
(y)=∫
-∞
+∞
f(x,y)dx, 当y≤0时,f
Y
(y)=0; 当y>0时,f
Y
(y)=∫
y
+∞
e
-y
dx=e
-y
,即f
Y
(y)=[*] 因为f(x,y)≠f
X
(x)f
Y
(y),所以X,Y不相互独立. (Ⅲ)F
Z
(z)=P(Z≤z)=P{X-Y≤z}=[*]f(x,y)dxdy, 当z<0时,F
Z
(z)=0; 当z≥0时,F
Z
(z)=P{Z≤z}=1-∫
z
+∞
dx∫
0
x-z
e
-x
dy=1-∫
x
+∞
(x-z)e
-x
dx =1-∫
z
+∞
xe
-x
dx+z∫
z
+∞
e
-x
dx=1+∫
z
+∞
xd(e
-x
)+ze
-x
=1+xe
-x
|
z
+∞
-∫
z
+∞
e
-x
dx+ze
-x
=1-e
-x
, 即F
Z
(z)=[*]
解析
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考研数学三
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