设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数 (Ⅰ)求P{X+Y≤1); (Ⅱ)判断X,Y的独立性; (Ⅲ)已知Z=X-Y,求fz(z).

admin2022-12-09  29

问题 设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数
(Ⅰ)求P{X+Y≤1);
(Ⅱ)判断X,Y的独立性;
(Ⅲ)已知Z=X-Y,求fz(z).

选项

答案[*] (Ⅱ)fX(x)=∫-∞+∞f(x,y)dy, 当x≤0时,fX(x)=0; 当>x0时,fX(x)=∫0xe-xdy=xe-x,即fX(x)=[*] fY(y)=∫-∞+∞f(x,y)dx, 当y≤0时,fY(y)=0; 当y>0时,fY(y)=∫y+∞e-ydx=e-y,即fY(y)=[*] 因为f(x,y)≠fX(x)fY(y),所以X,Y不相互独立. (Ⅲ)FZ(z)=P(Z≤z)=P{X-Y≤z}=[*]f(x,y)dxdy, 当z<0时,FZ(z)=0; 当z≥0时,FZ(z)=P{Z≤z}=1-∫z+∞dx∫0x-ze-xdy=1-∫x+∞(x-z)e-xdx =1-∫z+∞xe-xdx+z∫z+∞e-xdx=1+∫z+∞xd(e-x)+ze-x =1+xe-x|z+∞-∫z+∞e-xdx+ze-x=1-e-x, 即FZ(z)=[*]

解析
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