2. 考研
  3. 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1﹦－2α1－4α3，Aα2﹦α1﹢2α2﹢α3，Aα3﹦α1﹢3α3。 (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P－1AP为对角阵。

设A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1﹦－2α1－4α3，Aα2﹦α1﹢2α2﹢α3，Aα3﹦α1﹢3α3。 (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P－1AP为对角阵。

admin2019-01-22  20
问题 设A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1﹦－2α1－4α3，Aα2﹦α1﹢2α2﹢α3，Aα3﹦α1﹢3α3。
(I)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P－1AP为对角阵。
选项
答案(I)由已知得 A(α1，α2，α3)﹦(－2α1－4α3，α1﹢2α2﹢α3，α1﹢3α3) ﹦(α1，α2，α3)[*] 记P1﹦(α1，α2，α3)，B﹦[*]，则有AP1﹦P1B。 由于α1，α2，α3线性无关，则矩阵P1可逆，所以Pα1－1AP1﹦B，因此矩阵A与矩阵B相似，则 ｜B－λE｜﹦[*]﹦－(λ－2)2(λ﹢1)， 矩阵B的特征值为2，2，－1，故矩阵A的特征值为2，2，－1。 (Ⅱ)由(B－2E)x﹦0可得，矩阵B对应于特征值λ﹦2的特征向量为β1(0，1，－1)T，β2﹦(1，0，4)T；由(B﹢E)x﹦0可得，矩阵B对应于特征值A﹦－1的特征向量为β3﹦(1，0，1)T。 [*] 本题考查矩阵的特征值与相似对角化。要求矩阵A的特征值，若能得到矩阵A及其特征多项式，则可直接求出其特征值；若得不到矩阵A的具体形式，则可根据矩阵A的性质求其特征值，例如，相似矩阵具有相同的特征值。n阶矩阵能相似对角化的充分必要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量。
解析
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考研数学一

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