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设A是三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1﹦-2α1-4α3,Aα2﹦α1﹢2α2﹢α3,Aα3﹦α1﹢3α3。 (I)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP为对角阵。
设A是三阶矩阵,α1,α2,α3是线性无关的三维列向量,且满足Aα1﹦-2α1-4α3,Aα2﹦α1﹢2α2﹢α3,Aα3﹦α1﹢3α3。 (I)求矩阵A的特征值; (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP为对角阵。
admin
2019-01-22
58
问题
设A是三阶矩阵,α
1
,α
2
,α
3
是线性无关的三维列向量,且满足Aα
1
﹦-2α
1
-4α
3
,Aα
2
﹦α
1
﹢2α
2
﹢α
3
,Aα
3
﹦α
1
﹢3α
3
。
(I)求矩阵A的特征值;
(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P
-1
AP为对角阵。
选项
答案
(I)由已知得 A(α
1
,α
2
,α
3
)﹦(-2α
1
-4α
3
,α
1
﹢2α
2
﹢α
3
,α
1
﹢3α
3
) ﹦(α
1
,α
2
,α
3
)[*] 记P
1
﹦(α
1
,α
2
,α
3
),B﹦[*],则有AP
1
﹦P
1
B。 由于α
1
,α
2
,α
3
线性无关,则矩阵P
1
可逆,所以Pα
1
-1
AP
1
﹦B,因此矩阵A与矩阵B相似,则 |B-λE|﹦[*]﹦-(λ-2)
2
(λ﹢1), 矩阵B的特征值为2,2,-1,故矩阵A的特征值为2,2,-1。 (Ⅱ)由(B-2E)x﹦0可得,矩阵B对应于特征值λ﹦2的特征向量为β
1
(0,1,-1)
T
,β
2
﹦(1,0,4)
T
;由(B﹢E)x﹦0可得,矩阵B对应于特征值A﹦-1的特征向量为β
3
﹦(1,0,1)
T
。 [*] 本题考查矩阵的特征值与相似对角化。要求矩阵A的特征值,若能得到矩阵A及其特征多项式,则可直接求出其特征值;若得不到矩阵A的具体形式,则可根据矩阵A的性质求其特征值,例如,相似矩阵具有相同的特征值。n阶矩阵能相似对角化的充分必要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量。
解析
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