设A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1﹦－2α1－4α3，Aα2﹦α1﹢2α2﹢α3，Aα3﹦α1﹢3α3。 (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P－1AP为对角阵。

admin2019-01-22 23

问题设A是三阶矩阵，α₁，α₂，α₃是线性无关的三维列向量，且满足Aα₁﹦－2α₁－4α₃，Aα₂﹦α₁﹢2α₂﹢α₃，Aα₃﹦α₁﹢3α₃。
(I)求矩阵A的特征值；
(Ⅱ)求可逆矩阵P使得P^－1AP为对角阵。

选项

答案(I)由已知得 A(α₁，α₂，α₃)﹦(－2α₁－4α₃，α₁﹢2α₂﹢α₃，α₁﹢3α₃) ﹦(α₁，α₂，α₃)[*] 记P₁﹦(α₁，α₂，α₃)，B﹦[*]，则有AP₁﹦P₁B。由于α₁，α₂，α₃线性无关，则矩阵P₁可逆，所以Pα₁^－1AP₁﹦B，因此矩阵A与矩阵B相似，则｜B－λE｜﹦[*]﹦－(λ－2)²(λ﹢1)，矩阵B的特征值为2，2，－1，故矩阵A的特征值为2，2，－1。 (Ⅱ)由(B－2E)x﹦0可得，矩阵B对应于特征值λ﹦2的特征向量为β₁(0，1，－1)^T，β₂﹦(1，0，4)^T；由(B﹢E)x﹦0可得，矩阵B对应于特征值A﹦－1的特征向量为β₃﹦(1，0，1)^T。 [*] 本题考查矩阵的特征值与相似对角化。要求矩阵A的特征值，若能得到矩阵A及其特征多项式，则可直接求出其特征值；若得不到矩阵A的具体形式，则可根据矩阵A的性质求其特征值，例如，相似矩阵具有相同的特征值。n阶矩阵能相似对角化的充分必要条件是矩阵有n个线性无关的特征向量。

解析

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考研数学一

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设A是三阶矩阵，α1，α2，α3是线性无关的三维列向量，且满足Aα1﹦－2α1－4α3，Aα2﹦α1﹢2α2﹢α3，Aα3﹦α1﹢3α3。 (I)求矩阵A的特征值； (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P－1AP为对角阵。

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