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设曲线y=y(x)过(0,0)点,M是曲线上任意一点,MP是法线段,P点在x轴上,已知MP的中点在抛物线2y2=x上,求此曲线的方程.
设曲线y=y(x)过(0,0)点,M是曲线上任意一点,MP是法线段,P点在x轴上,已知MP的中点在抛物线2y2=x上,求此曲线的方程.
admin
2019-05-27
147
问题
设曲线y=y(x)过(0,0)点,M是曲线上任意一点,MP是法线段,P点在x轴上,已知MP的中点在抛物线2y
2
=x上,求此曲线的方程.
选项
答案
设M(x,y),则法线方程为Y-y=[*] 令Y=0,得X=yy’+x,于是P点坐标为(yy’+x,0) MP的中点坐标为(1/2yy’+x,y/2),它位于给定的抛物线上。 于是有方程y
2
=yy’+2x,即d(y
2
)/dx-2y
2
=-4x,所以y
2
e
-2x
=2xe
-2x
+e
-2x
+C 由y(0)=0得C=-1,所求曲线方程为y
2
=1+2x-e
-2x
。
解析
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考研数学二
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