设曲线y=y(x)过（0，0）点，M是曲线上任意一点，MP是法线段，P点在x轴上，已知MP的中点在抛物线2y2=x上，求此曲线的方程.

admin2019-05-27 167

问题设曲线y=y(x)过（0，0）点，M是曲线上任意一点，MP是法线段，P点在x轴上，已知MP的中点在抛物线2y²=x上，求此曲线的方程.

选项

答案设M(x,y),则法线方程为Y-y=[*] 令Y=0，得X=yy’+x,于是P点坐标为（yy’+x,0) MP的中点坐标为（1/2yy’+x,y/2),它位于给定的抛物线上。于是有方程y²=yy’+2x,即d(y²)/dx-2y²=-4x,所以y²e^-2x=2xe^-2x+e^-2x+C 由y(0）=0得C=-1，所求曲线方程为y²=1+2x-e^-2x。

解析

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考研数学二

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