设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0,证明：存在ξ∈（0,1），使得

admin2021-11-25 24

问题设f(x)在[0,1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0,证明：存在ξ∈（0,1），使得

选项

答案令ψ(x)=(x－1)²f’(x),显然ψ(x)在[0,1]上可导，由f(0)=f(1)=0,根据罗尔定理，存在c∈(0,1)，使得f’(c)=0,再由ψ(c)=ψ(1)=0,根据罗尔定理，存在ξ∈（c,1)[*](0,1),使得ψ’(ξ)=0,而ψ‘(x)=2(x－1)f’(x)+(x－1)²f"(x),所以2(ξ－1)f’(ξ)+(ξ－1)²f"(ξ)=0,整理得[*].

解析

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