设级数(an一an一1)收敛，且bn绝对收敛．证明：anbn绝对收敛．

admin2016-10-24 40

问题设级数

(a_n一a_n一1)收敛，且

b_n绝对收敛．证明：

a_nb_n绝对收敛．

选项

答案令S_n=(a₁一a₀)+(a₂一a₁)+…+(a_n一a_n一1)，则S_n=a_n=a₀．因为级数[*](a_n一a_n一1)收敛，所以[*]S_n存在，设[*]S_n=S，则有[*]a_n=S+a₀，即[*]a_n存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有|a_n|≤M．因为[*]b_n绝对收敛，所以正项级数[*]|b_n|收敛，又0≤|a_nb_n|≤M|b_n|，再由[*]M|b_n|收敛，根据正项级数的比较审敛法得[*]{a_nb_n|收敛，即级数[*]a_nb_n绝对收敛．

解析

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