2. 考研
  3. 设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．

admin2017-09-15  82
问题 设α1，α2，…，αn为n个线性无关的n维向量，且与向量β正交．证明：向量β为零向量．
选项
答案不妨设β≠0，令k1α1＋k2α2＋…＋knαn＋k0β＝0，上式两边左乘βT得 k1βTα1＋k2βTα2＋…＋knβTαn＋k0βTβ＝0 因为α1，α2，…，αn与β正交，所以k0βTβ＝0，即k0｜β｜2＝0，从而k0＝0，于是k1α1＋k2α2＋…＋knan＝0，再由α1，α2，…，αn线性无关，得k1＝k2＝…＝kn＝0，故α1，α2，…，αn，β线性无关，矛盾(因为当向量的个数大于向量的维数时向量组一定线性相关)，所以β＝0．
解析
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考研数学二

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