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求函数f(x,y)=x2+2y2—x2y2在区域D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥0,x≥0}上的最大值和最小值。
求函数f(x,y)=x2+2y2—x2y2在区域D={(x,y)|x2+y2≤4,y≥0,x≥0}上的最大值和最小值。
admin
2018-12-29
41
问题
求函数f(x,y)=x
2
+2y
2
—x
2
y
2
在区域D={(x,y)|x
2
+y
2
≤4,y≥0,x≥0}上的最大值和最小值。
选项
答案
先求D内的驻点及相应的函数值,由 [*] 得f(x,y)在D内有一个驻点M[*]=2。 再求f(x,y)在D的边界上的最大值与最小值,D的边界由三部分组成: 一是线段Γ
1
:y=0,0≤x≤2,在Γ
1
上f(x,y)=x
2
(0≤x≤2),最小值为0,最大值为4。 二是线段Γ
2
:x=0,0≤y≤2,在Γ
2
上f(x,y)=2y
2
(0≤y≤2),最小值为0,最大值为8。 三是上半圆周Γ
3
:y
2
=4—x
2
(0≤x≤2),在Γ
3
上 f(x,y)=x
2
+2(4—x
2
)—x
2
(4—x
2
)=8—5x
2
+x
4
=[*]=h(x)(0≤x≤2), h′(x)=[*],由h′(x)=0得x=0或x
2
=[*],且 h(0)=8,[*],h(2)=4。 于是f(x,y)在D的边界上的最大值为8,最小值为0。 最后通过比较知f(x,y)在D上的最大值为8,最小值为0。
解析
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考研数学一
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