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  3. 求函数f(x，y)=x2+2y2—x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0，x≥0}上的最大值和最小值。

求函数f(x，y)=x2+2y2—x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0，x≥0}上的最大值和最小值。

admin2018-12-29  40
问题 求函数f(x，y)=x2+2y2—x2y2在区域D={(x，y)｜x2+y2≤4，y≥0，x≥0}上的最大值和最小值。
选项
答案先求D内的驻点及相应的函数值，由 [*] 得f(x，y)在D内有一个驻点M[*]=2。 再求f(x，y)在D的边界上的最大值与最小值，D的边界由三部分组成： 一是线段Γ1：y=0，0≤x≤2，在Γ1上f(x，y)=x2(0≤x≤2)，最小值为0，最大值为4。 二是线段Γ2：x=0，0≤y≤2，在Γ2上f(x，y)=2y2(0≤y≤2)，最小值为0，最大值为8。 三是上半圆周Γ3：y2=4—x2(0≤x≤2)，在Γ3上 f(x，y)=x2+2(4—x2)—x2(4—x2)=8—5x2+x4=[*]=h(x)(0≤x≤2)， h′(x)=[*]，由h′(x)=0得x=0或x2=[*]，且 h(0)=8，[*]，h(2)=4。 于是f(x，y)在D的边界上的最大值为8，最小值为0。 最后通过比较知f(x，y)在D上的最大值为8，最小值为0。
解析
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考研数学一

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